波动率是什么？为什么要关注它？

简单地讲，波动率是一种风险的度量。

比如说，当股票的收益率波动非常大的时候，说明股票的风险就高，反之就低。 我们通过观察某支股票的波动率，就可以对这支股票的风险有一个直观理解。

投资界有句名言，“鸡蛋不要放在一个篮子里面”，也就是说不能只配置一种资产，这样风险太高。 那么问题就来了，究竟要怎么配置才是合理的呢？ 这就引入了资产配置和随之而来的风险管理的问题。为了管理风险，就得先度量风险。

如何度量风险？用波动率。

如何计算波动率？

首先需要明白的是，所有的计算方法都只是一种近似估计，并不代表准确的波动率。

既然波动率是一种估计，那么理所应当就有很多种估计方法。一般来说有三大类估计方法：

波动率数学定义

$r_t$ 是一个资产收益率的时间序列，$t=1,2,3...T$。这些收益率的样本方差被定义为：

$${\sigma }^2\left(r_t\right)=\frac{1}{T-1}\sum _{t=1}^T{(r_t-\overline{r})}^2$$

其中

$$\overline{r}=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{r}_t$$

是这些收益率的样本均值。

波动率的种类和计算方法

一、GARCH波动率

在现实世界中，资产收益率的波动率呈现出异方差、均值回归、聚类等特征。为了刻画波动率的这些特性，Robert Engle于1982年在《计量经济学》上提出了ARCH模型用于估计和预测波动率。在此基础上，Bollerslev(1986)建立了广义自回归条件异方差(GARCH)模型,这种模型及其拓广形式已被广泛应用于经济和金融时间序列分析。其中，Glosten、Jagannathan和Runkle（1989）提出的GJR-GARCH模型，在GARCH模型的基础上加入了负面冲击的杠杆效应，衡量了资产收益率波动的非对称性。

具体的，GJR-GARCH模型可以表示如下：

$${\sigma }_t^2=w+\left(\alpha +\gamma *I_{t-1}\right){\epsilon }_{t-1}^2+\beta *{\sigma }_{t-1}^2$$ $$r_t=\mu +{\epsilon }_t$$ $${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$$ $$I_{t-1}:=\left\{\begin{array}{ll}0& if r_{t-1}\ge \mu \\ 1& if r_{t-1}<\mu \end{array}\right.$$

其中，$r_t$是资产在t日的收益率，μ是资产的长期收益水平，$z_t$表示标准正态分布。

二、“已实现”波动率

与GARCH等波动率预测模型不同，“已实现”波动率（Realized Volatility）是在t时刻的信息的基础上对t时刻的波动率进行衡量，是采用高频金融时间序列对资产波动率进行测度的方法。所谓高频，指的是以天、小时、分钟以及秒为频率所采集的金融时间序列。 在使用高频数据对波动率进行衡量时，由于市场微观结构噪声、跳跃以及季节效应的存在，我们需要选择适当的抽样频率对“已实现”波动率进行估计和调整。参考Hansen和Lunde(2005),调整后的“已实现”波动率定义如下

$$R{V}_t=\sum _{i=1}^m{\left(p_{t,i}-p_{t,i-1}\right)}^2$$ $$p_{t,i}=\ln \left(P_{t,i}\right)$$ $$\hat{\delta }=\frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{t=1}^n}{\left(r_t-\overline{r}\right)}^2}{{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{t=1}^n}R{V}_t}$$

其中，$P_{t,i}$代表标的资产价格t日内的第i个观测，$r_t$是t日的收益率，r 是样本区间内n个交易日收益率的均值。

三、隐含波动率

假定市场上的期权或者权证的交易价格满足Black-Scholes-Merton（BSM）期权定价公式，即

$$c=S_{0}N\left(d_1\right)-K{e}^{-rT}N\left(d_2\right)$$ $$p=K{e}^{-rT}N\left(-d_2\right)-S_{0}N\left(-d_1\right)$$ $$d_1=\frac{\ln \left({\displaystyle \raisebox{1ex}{$S_0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$K$}\right.}\right)+\left(r+{\displaystyle \raisebox{1ex}{${\sigma }^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}$$ $$d_2=\frac{\ln \left({\displaystyle \raisebox{1ex}{$S_0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$K$}\right.}\right)+\left(r-{\displaystyle \raisebox{1ex}{${\sigma }^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}=d_1-\sigma \sqrt{T}$$

将标的资产价格、执行价格、利率、期限四个基本参数和期权的实际交易价格作为已知量代入定价公式中，从而可以得到期权当前的市场价格所隐含的波动率，称之为隐含波动率（Implied Volatility）。

四、历史波动率

历史波动率，指资产收益率在过去一段时间内表现出的波动水平，可以由资产收益率在过去一段时间内的标准差计算得到。

五、波动率锥

Burghardt和Lane（1990）首次提出了波动率锥的概念，通过增加波动率估计的时间区间，将标的资产历史波动率的分布进行了刻画，为波动率的分析与预测提供了一种新的思路。

具体的，通过划分不同的时间区间分别计算标的资产的历史波动率，并分别得到不同时间周期历史波动率的分位点，以横轴表示时间周期，纵轴表示年化历史波动率的各分位数，就得到了标的资产的波动率锥。 波动率锥的使用主要基于以下三个基本前提。首先，波动率具有均值回归的特性，当波动率远高于（或远低于）历史波动率的高分位数（或低分位数）时，波动率最终会回落（或回升）到平均水平。其次，波动率的比较应该保持在同一时间维度上，不同到期的隐含波动率应当与之相对应的历史波动率分别进行比较。最后，短期波动率的分布更为发散，而长期波动率具有向中聚集的特征，从而，波动率的分布呈现出锥形。

典型实证现象

有些现象能够在几乎所有收益率的时间序列中观察到。一个好的条件异方差模型要能够捕捉大部分实证现象。在这个部分，我们列出在波动性分析中最知名典型实证现象。

波动率聚类

如果 $t-1$时的波动率很高，$t$ 时的波动率也很可能会很高。即，在 $t-1$ 时的冲击不仅会增加 $t-1$ 时的波动率，也会影响到 $t$ 时的波动率。换句话说，市场在某些时期较为波动，在其他时间更为平静。波动率特征按照时间集中分类。$\mathrm{GARCH}$ 类模型能够很好地捕捉这一现象。事实上，这些模型更准确地来说，是衡量 $t$ 时的波动率是如何依赖历史波动率 (和其他可能的条件变量）。

肥尾现象

收益率的时间序列通常呈现肥尾分布，又叫做超额峰度，或者尖峰。也就是说，它们的峰度（用方差的平方根标准化的第四中心矩）通常都大于3（高斯随机变量的峰度为3）。事实上，一种流行的检验高斯分布假设的方法，Jarque-Bera测试，能够同时测试此分布是否是对称的以及其峰度是否等于3。

如果收益率是肥尾分布的，则极端事件（非常高或非常低的回报率）的发生概率会高于收益率分布满足正态（高斯）分布时其发生的概率。

大部分波动率模型，例如GARCH 模型会造成收益率呈现肥尾分布，不管真正的潜在冲击是高斯分布还是肥尾分布。在估计时，我们通常假设潜在冲击服从高斯分布。在样本量很大时，即使真实分布不是高斯，模型通常也能给出合适的估计值。这些估计值为最大似然估计值，并且能够在相对宽松的限制条件下给出一致的估计。

不对称性

有一个普通 $\mathrm{GARCH}$ 模型不能捕捉的实证现象是 $t-1$ 时刻的负面冲击比正面冲击对 $t$ 时刻的方差有更强烈的影响。尽管如此， $\mathrm{GARCH}$ 模型能够很容易地调整扩充从而捕捉到这种不对称性。类似的例子有门限 $\mathrm{GARCH}$ （$\mathrm{TGARCH}$）模型，, 不对称 $\mathrm{GARCH}$ （$\mathrm{AGARCH}$）模型和指数 $\mathrm{GARCH}$ $（\mathrm{EGARCH})$）模型。

这一不对称性过去被成为杠杆效应，因为增加的风险被认为是来自于负面冲击所引起杠杆的增加，但是限制人们认识到这个效应不能解释所有现象，并且风险规避是一个重要的机制。

参考文献

Bollerslev, Tim. "Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity." Journal of econometrics 31.3 (1986): 307-327.

Glosten, L. R., R. Jagannathan, and D. E. Runkle, 1993. On The Relation between The Expected Value and The Volatility of Nominal Excess Return on stocks. Journal of Finance 48: 1779-1801.

Black, Fischer, and Myron Scholes. "The pricing of options and corporate liabilities." Journal of political economy 81.3 (1973): 637-654.

Merton, Robert C. "Theory of rational option pricing." The Bell Journal of economics and management science (1973): 141-183.

Hansen, Peter Reinhard, and Asger Lunde. "A realized variance for the whole day based on intermittent high-frequency data." Journal of Financial Econometrics 3.4 (2005): 525-554.

Bollerslev, Tim, 1986, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”, Journal of Econometrics

Engle, R. F. 1982, “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation”, Econometrica, pp987-1008

Engle, R. F. and Andrew Patton, 2001, “What Good is a Volatility Model?,”, Quantiative Finance V1N2, pp237-245

Engle, R. F., 2009. Anticipating Correlations: A New Paradigm for Risk Management. Princeton University Press.

Tsay, R. S., 2005. Analysis of Financial Time Series — 2nd Ed. Wiley-Interscience.

Burghardt, Galen, and Morton Lane. "How to tell if options are cheap." The Journal of Portfolio Management 16.2 (1990): 72-78.